Palaa takaisin

Lukujärjestelmät

Tehtävät on jaoteltu värin mukaan helppoihin, perus ja vaikeisiin tehtäviin.

Helppo
Perus
Vaikea

Tehtävä 1. Vastaa kirjallisesti seuraaviin kysymyksiin.

  1. Mitkä luvut ovat käytössä 10-järjestelmässä?
  2. Miksi luku 102 ei ole kelvollinen luku 2-järjestelmässä?
  3. Mikä on 110021100_2 luvun arvo 10-järjestelmässä?
  4. Jaa 2463 luku kantalukujen potenssien summaksi 10-järjestelmässä.
  5. Mitkä luvut ovat käytössä 16-järjestelmässä eli heksadesimaalissa? 
  6. Onko luku 2536 8-järjestelmän eli oktaalijärjestelmän mukainen? 

a. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
b. Luku 102 ei ole kelvollinen 2-järjestelmässä, koska 2-järjestelmässä on käytössä vain luvut 0 ja 1. 
c. Luku 110021100_2 on 10-järjestelmässä luku 12. 
d. 2⋅103+4⋅102+6⋅101+3⋅100 2⋅10^3+4⋅10^2+6⋅10^1+3⋅10^0
e. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 
f. Luku 2382 on 8-järjestelmän mukainen, koska se sisältää vain lukuja, jotka kuuluvat 8-järjestelmään. Sallitut luvut 0-7. 

Tehtävä 2. Valitse oikea muutos, kun muutetaan 10-järjestelmän luvut binääriin eli 2-järjestelmään ja vastaukset ovat 5-bittisiä eli 5-numeroisia.

Tehtävä 3. Kirjoita jakolaskua vastaava jakoyhtälö

a. 967\frac{96}{7}

b. 536\frac {53}{6}

c. −234-\frac {23}{4}

d. −157-\frac {15}{7}

jakoyhtälö on muotoa:

a=b⋅q+ra=b\cdot q+r eli jaettava=jakaja⋅osama¨a¨ra¨+jakoja¨a¨nno¨sjaettava = jakaja \cdot osamäärä + jakojäännös

  • a. 97=7⋅13+597=7\cdot 13+5
  • b. 53=6⋅8+553=6\cdot8+5
  • c. −23=4⋅(−6)+1-23=4\cdot (-6)+1
  • d. −15=7⋅(−3)+6-15= 7\cdot (-3)+6

Tehtävä 4. Muunna annetut binääriluvut 10-järjestelmään

a. 101112 10111_2
b. 1101102 110110_2
c. 110011012 11001101_2

a. 101112 10111_2
=1⋅24+0⋅23+1⋅22+1⋅21+1⋅20=1⋅2^4+0⋅2^3+1⋅2^2+1⋅2^1+1⋅2^0
=1⋅16+0⋅8+1⋅4+1⋅2+1⋅1=1⋅16+0⋅8+1⋅4+1⋅2+1⋅1
=16+4+2+1=16+4+2+1
=23=23

b. 1101102110110_2
=1⋅26+0⋅25+1⋅24+0⋅23+1⋅22+1⋅21+0⋅20=1⋅2^6+0⋅2^5+1⋅2^4+0⋅2^3+1⋅2^2+1⋅2^1+0⋅2^0
=1⋅64+0⋅32+1⋅16+0⋅8+1⋅4+1⋅2+0⋅1 =1⋅64+0⋅32+1⋅16+0⋅8+1⋅4+1⋅2+0⋅1
=64+16+4+2=64+16+4+2
=86=86

c. 11001101211001101_2
=1⋅27+1⋅26+0⋅25+0⋅24+1⋅23+1⋅22+0⋅21+1⋅20=1⋅2^7+1⋅2^6+0⋅2^5+0⋅2^4+1⋅2^3+1⋅2^2+0⋅2^1+1⋅2^0
=1⋅128+1⋅64+0⋅32+0⋅16+1⋅8+1⋅4+0⋅2+1⋅1 =1⋅128+1⋅64+0⋅32+0⋅16+1⋅8+1⋅4+0⋅2+1⋅1
=128+64+8+4+1= 128+64+8+4+1
=205=205

Tehtävä 5. Muunna annetut 10-järjestelmän luvut binääriin

a.
b.

a. 251025_{10}

252=12, jakoja¨a¨nno¨s 1\frac{25}{2}=12{,}\ jakojäännös\ 1

122=6, jakoja¨a¨nno¨s 0\frac{12}{2}=6{,}\ jakojäännös\ 0

62=3, jakoja¨a¨nno¨s 0\frac{6}{2}=3{,}\ jakojäännös\ 0

32=1, jakoja¨a¨nno¨s 1\frac{3}{2}=1{,}\ jakojäännös\ 1

12=0, jakoja¨a¨nno¨s 1\frac{1}{2}=0{,}\ jakojäännös\ 1

b. 18910189_{10}

1892=94, jakoja¨a¨nno¨s 1\frac{189}{2}=94{,}\ jakojäännös\ 1

942=47, jakoja¨a¨nno¨s 0\frac{94}{2}=47{,}\ jakojäännös\ 0

472=23, jakoja¨a¨nno¨s 1\frac{47}{2}=23{,}\ jakojäännös\ 1

232=11, jakoja¨a¨nno¨s 1\frac{23}{2}=11{,}\ jakojäännös\ 1

112=5,  jakoja¨a¨nno¨s 1\frac{11}{2}=5{,}\ \ jakojäännös\ 1

52=2, jakoja¨a¨nno¨s 1\frac{5}{2}=2{,}\ jakojäännös\ 1

22=1, jakoja¨a¨nno¨s 0\frac{2}{2}=1{,}\ jakojäännös\ 0

12=0,  jakoja¨a¨nno¨s 1\frac{1}{2}=0{,}\ \ jakojäännös\ 1

Tehtävä 6. Muuta annetut luvut heksadesimaaleista 10-järjestelmään.

a. FF16FF_{16}
b. 7E9167E9_{16}
c. E6F3B716E6F3B7_{16}

a. FF16FF_{16}
=15⋅161+15⋅160=15\cdot16^1+15\cdot16^0
=15⋅16+15⋅1=15\cdot16+15\cdot1
=240+15=240+15
=255=255

b. 7E9167E9_{16}
=7⋅162+14⋅161+9⋅160=7\cdot16^2+14\cdot16^1+9\cdot16^0
=7⋅256+14⋅16+9⋅1=7\cdot256+14\cdot16+9\cdot1
=1792+224+9=1792+224+9
=2025=2025

c. E6F3B716E6F3B7_{16}
=14⋅165+6⋅164+15⋅163+3⋅162+11⋅161+7⋅160=14\cdot16^5+6\cdot16^4+15\cdot16^3+3\cdot16^2+11\cdot16^1+7\cdot16^0
=14⋅1048576+6⋅65536+15⋅4096+3⋅256+11⋅16+7⋅1=14\cdot1048576+6\cdot65536+15\cdot4096+3\cdot256+11\cdot16+7\cdot1
=14680064+393216+61440+768+176+7=14680064+393216+61440+768+176+7
=15135671=15 135 671

Tehtävä 7. Muuta 10-järjestelmän luvut heksadesimaaliin.

a. 28210282_{10}
b. 631063_{10}
c. 1879101879_{10}

Käytä jakojäännös menetelmää. Käytä jakajana lukua 16. Heksadesimaali vastaus luetaan jakojäännöksistä alhaalta ylöspäin.

a.

28216=17\frac{282}{16}=17, jakojäännös 10

1716=1\frac{17}{16}=1, jakojäännös 1

116=0\frac{1}{16}=0, jakojäännös 1

vastaus: 11A1611A_{16}

b.

6316=3\frac{63}{16}=3, jakojäännös 15

316=0\frac{3}{16}=0, jakojäännös 3

vastaus: 3E163E_{16}

c.

187916=117\frac{1879}{16}=117, jakojäännös 7

11716=7\frac{117}{16}=7, jakojäännös 5

716=0\frac{7}{16}=0, jakojäännös 7

vastaus: 75716757_{16}

Tehtävä 8. Kumpi luvuista on suurempi 110110021101100_2 vai 10610106_{10}

=1⋅26+1⋅25+0⋅24+1⋅23+1⋅22+0⋅21+0⋅20=1⋅2^6+1⋅2^5+0⋅2^4+1⋅2^3+1⋅2^2+0⋅2^1+0⋅2^0
=1⋅64+1⋅32+0⋅16+1⋅8+1⋅4+0⋅2+0⋅1=1⋅64+1⋅32+0⋅16+1⋅8+1⋅4+0⋅2+0⋅1
=64+32+8+4=64+32+8+4
=108=108

vastaus: 2-järjestelmän luku on suurempi. 

Tehtävä 9. Päättele  x arvo, kun 110x11002 = 2x410110x1100_2\ =\ 2x4_{10}

x voi olla vain 1 tai 0, koska binäärissä ei esiinny muita lukuja.

Kirjoitetaan auki molempien kantalukujen potenssien summat.

110x11002 = 2x410110x1100_2\ =\ 2x4_{10}

1⋅27+1⋅26+0⋅25+x⋅24+1⋅23+1⋅22+0⋅21+0⋅20 = 2⋅102+x⋅101+4⋅1001\cdot2^7+1\cdot2^6+0\cdot2^5+x\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+0\cdot2^0\ =\ 2\cdot10^2+x\cdot10^1+4\cdot10^0

1⋅128+1⋅64+x⋅34+0⋅16+1⋅8+1⋅4+0⋅2+0⋅1 = 2⋅100+x⋅10+4⋅11\cdot128+1\cdot64+x\cdot34+0\cdot16+1\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+0\cdot1\ =\ 2\cdot100+x\cdot10+4\cdot1

128+64+x⋅34+8+4 = 200+x⋅10+4128+64+x\cdot34+8+4\ =\ 200+x\cdot10+4

10x−34x = 128+64+8+4−200−410x-34x\ =\ 128+64+8+4-200-4

−24x = 0 ∥:(−24)-24x\ =\ 0\ \parallel :\left(-24\right)

x=0x=0

vastaus on tosi, koska numero 0 löytyy molemmista järjestelmistä.

Tehtävä 10.