Logiikka
Tehtävät on jaoteltu värin mukaan helppoon, perus ja vaikeaan
Teorian ymmärtäminen on erityisen tärkeää logiikassa.
Tärkeimmät termit:
- Konnektiivien symbolit = ¬, ∧, ∨, ⇒ ja ⇔.
- Formalisointi = Sanallinen lause muutetaan loogiseksi lauseeksi.
- Totuustaulukko = Taulukko, joka esittää kaikki mahdolliset totuusarvot (eli 1 tai 0).
- Väitelause = propositio = Lyhyitä lauseita, joilla on totuusarvo eli ovat joko tosia tai epätosia.
- Atomilause = Lause logiikassa, jossa ei ole konnektiiveja.
- Yhdistetty lause = Atomilauseista konnektiivien avulla muodostettu lause.
Tehtävä 1
a) Kirjoita neljä virkettä.
- Virke, jossa kerrot olevasi abi.
- Virke, jossa kiellät olevasi abi.
- Virke, jossa kerrot, että jos olet abi, niin käyt lukiota.
- Virke, jossa kerrot, että olet abi, jos ja vain jos teet ylioppilaskokeita
Kirjoita siis mahdollisimman yksinkertaisesti, eikä esimerkiksi ”En siis todellakaan ole missään nimessä abi”. Jos et ymmärrä tehtävänantoa, katso vastaus ja päättele seuraava osa itse.
- Olen abi
- En ole abi
- Jos olen abi niin käyn lukiota
- Olen abi, jos ja vain jos teen ylioppilaskokeita.
b) Tee virkkeistä atomilauseet A, B ja C.
Jätä virkkeistä pois konnektiivit ei, ja, tai, jos…niin sekä jos ja vain jos.
A = ”olen abi”
B = ”käyn lukiota”
C = ”teen ylioppilaskokeita”
Virke ”en ole abi” voidaan esittää atomilauseen A avulla, joten sitä varten ei tarvita erillistä kirjainta. Atomilauseet merkitään kirjaimilla, eikä niissä käytetä loogisia konnektiiveja.
c) Formalisoi virkkeet käyttäen edellisen kohdan atomilauseita.
Kertaa, mitä konnektiivien symbolit ovat ¬, ∧, ∨, ⇒ ja ⇔, ja mitä tarkoittaa formalisointi.
- A
- ¬ A
- A ⇒B
- A ⇔ C
d) Suomenna lauseet käyttäen b‑kohdassa määriteltyjä atomilauseita.
- A ˄ B
- A ˅ B
- Olen abi ja käyn lukiota.
- Olen abi tai käyn lukiota
Tehtävä 2. Tehtävästä on perus ja vaikean tason versiot.
Älä vielä pelaa perustason peliä äläkä katso kuvaa !
a) Muodosta todistajan lausunnosta atomilauseet ja rakenna niiden perusteella väitelauseet. Formalisoi väitelause atomilauseiden ja lausunnon sisällön perusteella valitun loogisen konnektiivin avulla. Sievennä formalisoitu lause käyttämällä loogisia lakeja ja ilmaise lopuksi sievennetty väitelause suomeksi. Jokainen tapaus käsitellään erikseen.
Todistajan lausunnot:
- Kun ajattelen tarkemmin, ei ole niin, että hänellä ei olisi päähinettä.
- Muistelisin, ettei ole totta, että hänellä olisi ollut sekä silmälasit että viikset.
- Muistikuvani mukaan hänellä oli päähine tai koruja. Jos oikein mietin mahdollisesti oli molemmat.
- Tatuointien ja päähineen välillä oli selvä yhteys, sillä tatuoinnit eivät koskaan esiintyneet yksin. Aina kun tatuointeja näkyi, hänellä oli myös päähine. Lisäksi on mahdollista, ettei hänellä ollut kumpaakaan tai pelkkä päähine.
- Epäillyllä oli hiukset ja silmälasit yhtä aikaa tai ei kumpaakaan.
Atomilauseet
P = ”epäillyllä on päähine”
S = ”epäillyllä on silmälasit”
V = ”epäillyllä on viikset”
K = ”epäilllyllä on koruja”
P = ”epäillyllä on päähine”
T = ”epäillyllä on tatuointeja”
H = ”epäillyllä on hiukset”
S = ”epäillyllä on silmälasit”
Loogiset lauseet
Vastaukset on paksunnettuna
1.
Väitelause: ”Ei ole niin, että epäillyllä ei ole päähinettä”
Formalisoituna: ¬(¬P)
Kaksoisnegaation laki: ¬(¬P) = P
Väitelause lain soveltamisen jälkeen: ”Epäillyllä on päähine”
2.
Väitelause: ”Ei ole niin, että epäillyllä on silmälasit ja viikset”¬ (S ∧ V)
Formalisoituna: ¬ (S ∧ V)
De Morganin laki: ¬ (S ∧ V) = ¬S ∨ ¬V
Väitelause lain soveltamisen jälkeen: ”Epäillyllä ei ole silmälaseja tai ei ole viiksiä”
3.
Väitelause: ”Ei ole niin, että epäillyllä on päähine tai koruja”
Formalisoituna: ¬ (P ∨ K)
De Morganin laki: ¬ (P ∨ K) = ¬P ∧ ¬K
Looginen lause sanallisesti lain jälkeen: ”Epäillyllä ei ole päähinettä ja ei ole koruja”
4.
Väitelause: ”Jos epäillyllä on tatuointeja, niin epäilyllä on päähine”
Formalisoituna: T ⇒ P
5.
Väitelause: ”Epäilyllä on hiuksia, jos ja vain jos hänellä on silmälasit.”
Väitelause: H ⇔ S
b) Oleta, ettet tiedä hahmojen ominaisuuksia etukäteen. Päättele totuustaulukoiden avulla, mitkä ominaisuudet epäillyillä on. Tämän jälkeen vertaile sopiiko nämä perustason tehtävän 2 kuvaselityksen hahmoihin.
Seuraavassa tehtävän vastauksessa on selitettynä, miksi tehtävänanto on muotoiltuna näin.
Totuusarvot
Hahmo 1 (numero 1)
- P = 1
- V = 1
- T = 1
Hahmo 2 (numero 2)
- H = 1
- K = 1
- S = 1
Hahmo 3 (numero 3)
- H = 1
- S = 1
- T = 1
Hahmo 4 (numero 4)
- P = 1
- K = 1
Totuustaulukoilla
1.
| P | ¬P | ¬ (¬P) |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
Lause on tosi, kun P on tosi eli kun epäillyllä on päähine. Hamoilla 1 ja 4 on päähine, minkä takia he ovat epäiltyjä.
2.
| S | V | S ∧ V | ¬ (S ∧ V) |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| ¬S | ¬V | ¬S ∨ ¬V |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Totuustaulukoiden perusteella lause on ainoastaan epätosi, kun epäillyillä on silmälasit ja viikset. Epäillyt ovat kaikki.
Hahmolla 1 on viikset, muttei silmälaseja. Hahmolla 2 ja hahmolla 3 ei ole viiksiä, mutta on silmälasit. Hahmolla 4 ei ole viiksiä, eikä silmälaseja.
3.
| P | K | P ∨ K | ¬ (P ∨ K) |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| ¬P | ¬K | ¬P ∧ ¬K |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Totuustaulukoiden perusteella ainoastaan, kun ¬P ja ¬K ovat tosia, lause on tosi. Eli epäillyllä ei saa olla päähinettä, eikä koruja. Epäilty on hahmo 3.
4.
| T | P | T ⇒ P |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Lause on ainoastaan epätosi, kun epäillyllä on tatuointeja, mutta ei ole päähinettä. Tarkemmin lause on tosi, kun henkilöllä on tatuointeja ja päähine, pelkkä päähine tai ei ole kumpaakaan. Epäillyt ovat hahmo 1, hahmo 2 ja hahmo 4.
Hahmolla 1 on sekä tatuoinnit että päähine, hahmolla 2 ei ole kumpaakaan ja hahmolla 4 on päähine ilman tatuointeja.
5.
| T | P | T ⇔ P |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Totuustaulukoiden perusteella lause on tosi, kun molemmat ovat tosia tai molemmat ovat epätosia. Eli epäillyllä on tatuointeja ja päähine tai ei kumpaakaan. Epäillyt ovat kaikki.
Hahmolla 1 ei ole hiuksia eikä silmälaseja, hahmolla 2 on hiukset ja silmälasit, hahmolla 3 on hiukset ja silmälasit ja hahmolla 4 ei ole hiuksia eikä silmälaseja.
c) Tuomari on määrännyt kyseiset henkilöt syyllisiksi. Onko kukaan epäillyistä syyllinen? Tiedät nyt hahmojen ominaisuuksien totuusarvot.
- P ∧ S
- ¬ S ∧ ¬ T
- K ⇒ S
- (K ∨ V) ∧ P
- (S ∨ K) ∧ ¬ (V ∨ T)
Tämä lähestymistapa helpottaa syyllisen selvittämistä. Edellisessä tehtävässä tehtävänanto oli tarkoituksella monimutkaisempi, jotta ratkaisu perustui ensin totuustaulukon muodostamiseen ja vasta sen jälkeen hahmojen 1–4 tunnistamiseen. Tässä tehtävässä hahmojen totuusarvot tiedetään valmiiksi, mikä tekee tehtävästä nopeamman ratkaista.
- P ∧ S
| Hahmo | P | S | P ∧ S |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 0 |
Kukaan ei ole syyllinen.
- 2. ¬ S ∧ ¬ T
| Hahmo | S | ¬S | T | ¬T | ¬S ∧ ¬T |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Hahmo 4 on syyllinen.
- 3. K ⇒ S
| Hahmo | K | S | K ⇒ S |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 |
Hahmot 1–3 ovat syyllisiä.
- 4. (K ∨ V) ∧ P
| Hahmo | K | V | K ∨ V | P | (K ∨ V) ∧ P |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Hahmot 1 ja 4 ovat syyllisiä
- 5. (S ∨ K) ∧ ¬ (V ∨ T)
S ∨ K
| Hahmo | S | K | S ∨ K |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 0 | 1 | 1 |
¬ (V ∨ T):
| Hahmo | V | T | V ∨ T | ¬ (V ∨ T) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 1 |
(S ∨ K) ∧ ¬ (V ∨ T)
| Hahmo | S ∨ K | ¬ (V ∨ T) | (S ∨ K) ∧ ¬ (V ∨ T) |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 1 | 1 |
Hahmot 2 ja 4 ovat syyllisiä.
Hahmo 1 (numero 1)
- hattu
- viikset
- tatuointi
Hahmo 2 (numero 2)
- hiukset
- korvakorut ja kaulakoru
- silmälasit
Hahmo 3 (numero 3)
- hiukset
- silmälasit
- tatuointi
Hahmo 4 (numero 4)
- nenälävistys ja kaulakoru
- pipo
Tehtävä 2: Pelaa tunnistamistilanne
Ohje: Oikeita vastauksia voi olla useita ja valitse kaikki oikeat vastaukset. Käytä apuna totuustaulukoita lauseiden tulkitsemiseen. Älä päättele vastausta pelkästään todistajan lausunnon perusteella. Totuustaulukoiden oikeat vastaukset löytyvät vaikean version vastauksesta. Jokainen tapaus on oma erillinen tilanteensa.
Peli on inspiroitu englanninkielisestä logiikkapelistä: Connective Detective
Tehtävä 3: Marsun hoito-ohjeet
Jos marsu on pitkäkarvainen niin turkin hoitaminen on vaativaa. Marsu tarvitsee lajitoverin, eikä viihdy pitkiä aikoja itsekseen. Marsu on äänekäs, jos ja vain jos se haluaa signaloida jotain. Jos marsua ei hoideta oikein niin se voi sairastua tai pahimmassa tapauksessa kuolla.
a) Tee atomilauseita seuraavista virkkeistä. Atomilauseissa pitää käydä selvästi ilmi, että väitteet koskevat marsua.
Atomilauseita on yhdeksän (A, B, C, D, E, F, G, H, I). Erottele, mitkä sanat ovat konnektiiveja ja mitkä atomilauseita. Etsi sanoja ja, ei, tai, jos… niin ja vain ja jos vain. Jos et ymmärrä, mitä tässä haetaan, katso vinkkiä tehtävästä 1.
A = ”marsu on pitkäkarvainen”
B = ”marsun turkin hoitaminen on vaativaa”
C= ”marsu tarvitsee lajitoverin”
D= ”marsu viihtyy pitkiä aikoja itsekseen”
E= ” marsu on äänekäs”
F = ”marsu haluaa signaloida jotain”
G= ”marsua hoidetaan oikein ”
H= ”marsu voi sairastua”
I= ”marsu voi pahimmassa tapauksessa kuolla”
Huomaa, että ”ei”-sana jätettiin atomilauseista pois, koska atomilauseessa ei saa käyttää loogista negaatiota. Tämä helpottaa tehtävien tekemistä ja tekee formalisoinnista selkeämpää.
Sanaa ”marsu” toistetaan atomilauseissa, koska atomilauseen pitää olla täysin yksiselitteinen ja ymmärrettävä myös silloin, kun se esiintyy yksinään ilman alkuperäistä virkettä. Atomilausetta ei voi jättää muotoon ”se haluaa signaloida jotain”, koska pronomini ”se” ei yksinään kerro, mihin väite viittaa. Tehtävänannossa nimenomaan pyydettiin tekemään atomilauseet niin, että niistä käy aina suoraan ilmi, että kyseessä on marsu.
b) Virkkeet ovat jo väitelausemuodoissa valmiiksi. Päätelle virkkeiden sisällön perusteella, mikä looginen konnektiivi yhdistettyyn lauseeseen kuuluu. Formalisoi yhdistetyt lauseet.
- Jos marsu on pitkäkarvainen, niin turkin hoitaminen on vaativaa.
- A ⇒ B
- Marsu tarvitsee lajitoverin, eikä viihdy pitkiä aikoja itsekseen.
- C ∧ ¬ D
- Marsu on äänekäs, jos ja vain jos haluaa signaloida jotain.
- E ⇔ F
- Jos marsua ei hoideta oikein niin se voi sairastua tai pahimmassa tapauksessa kuolla.
- ¬ G⇒ (H ∨ I)
c) Milloin nämä lauseet ovat tosia?
Vinkki: Aloita kirjoittamalla totuustaulukkoon sarakkeet A, B ja tarvittaessa C.
Näihin sarakkeisiin merkitään kaikki mahdolliset totuusarvoyhdistelmät.
Kun perussarakkeet on laadittu, tarkastele valitun konnektiivin totuustaulukkoa ja päättele, missä kohdissa konnektiivin arvo on 1 (tosi) tai vaihtoehtoisesti 0 (epätosi).
Näiden perusteella täytät konnektiiville oman sarakkeensa taulukkoon.
1.
| A | B | A ⇒ B |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Lause on epätosia ainoastaan, kun A on tosi ja B on epätosi. Suomennettuna jos marsu on pitkäkarvainen niin turkin hoitaminen ei ole vaativaa.
2.
| C | D | ¬D | C ∧ ¬D |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Lause on tosi ainoastaan, kun C ja ¬D ovat tosia 1. Suomennettuna marsu tarvitsee lajitoverin ja ei viihdy pitkiä aikoja itsekseen
3.
| E | F | E ⇔ F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Lause on tosi, kun E ja F ovat joko molemmat tosia tai epätosia. Ensimmäinen lause suomennettuna on marsu on äänekäs vain ja jos vain se haluaa signaloida jotain. Toinen lause on suomennettuna marsu ei ole äänekäs vain ja jos vain se ei halua signaloida jotain.
4.
Tämä on monimutkaisempi, koska muuttujia on kolme.
| G | H | I | (H ∨ I) | ¬ G | ¬ G ⇒ (H ∨ I) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Lause on epätosi kolmessa tapauksessa. Näissä G on tosi. Joko H tai I ovat epätosia tai molemmat ovat tosia. Suomennettuna nämä tapaukset ovat seuraavat:
Jos marsua hoidetaan oikein niin se ei voi sairastua tai pahimmassa tapauksessa voi kuolla.
Jos marsua hoidetaan oikein niin se voi sairastua tai pahimmassa tapauksessa ei voi kuolla.
Jos marsua hoidetaan oikein niin se voi sairastua tai pahimmassa tapauksessa voi kuolla.
d) Suomenna näiden perusteella seuraavat lauseet.
- ¬ (A ∨ B)
- ¬ (A ∧ B)
- ¬ (¬ C)
- E ⇔ (F ∧ ¬ G)
- ¬ (¬ A ⇔ ¬ B)
Oikeat vastaukset on lihavoitu.
- ¬ (A ∨ B)
- De Morganin laki ¬ (A) ∧ ¬ (B): Marsu ei ole pitkäkarvainen ja turkin hoitaminen ei ole vaativaa.
- Ilman lakia: Ei ole niin, että marsu on pitkäkarvainen tai turkin hoitaminen on vaativaa.
- ¬ (A ∧ B)
- De Morganin laki ¬ (A) ∨ ¬ (B): Marsu ei ole pitkäkarvainen tai turkin hoitaminen ei ole vaativaa.
- Ilman lakia: Ei ole niin, että marsu on pitkäkarvainen ja turkin hoitaminen on vaativaa.
- ¬ (¬ C)
- Kaksoisnegaation laki C: Marsu tarvitsee lajitoverin.
- Ilman lakia: Ei ole totta, että marsu ei tarvitse lajitoveria.
- E ⇔ (F ∧ ¬ G)
- Marsu on äänekäs, jos ja vain jos se haluaa signaloida jotain ja marsua ei hoideta oikein
- ¬ (¬ A ⇔ ¬ B)
- Ei ole niin, että marsu ei ole pitkäkarvainen, jos ja vain jos turkin hoitaminen ei ole vaativaa.
- Olisiko tässä saanut muotoilla muotoon (A ⇔ B) ? Tutkitaan asiaa seuraavassa kohdassa
- Olisiko kohdassa viisi saanut muotoilla muotoon (A ⇔ B)? Tutkitaan asiaa
| A | B | ¬A | ¬B | (¬A ⇔ ¬B) | ¬ (¬A ⇔ ¬B) |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| A | B | (A ⇔ B) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
- Lauseet eivät ole loogisesti ekvivalentit, koska totuustaulut eivät ole samat. Ei olisi saanut.