Jaollisuus ja jakoyhtälö

Palaa takaisin

Tehtävät on jaoteltu värin mukaan helppoihin, perus ja vaikeisiin tehtäviin.

Helppo

Perus

Vaikea

Tehtävä 1. Meneekö jako tasan? Jos ei, kirjoita jakojäännös.

a) $\frac{87}{3}$

b) $\frac{31}{7}$

c) $\frac{78}{9}$

d) $\frac{98}{7}$

e) $\frac{543}{3}$

a) $\frac{87}{3}=29$ , menee tasan

b) $\frac{31}{7}\approx4,429$ , jakojäännös 3, ei mene tasan

c) $\frac{78}{9}\approx8,667$ , jakojäännös 6, ei mene tasan

d) $\frac{98}{7}=14$ , menee tasan

e) $\frac{543}{3}=181$ , menee tasan

Tehtävä 2. Kirjoita jakolaskua vastaava jakoyhtälö.

a) $\frac{123}{11}$

b) $\frac{98}{7}$

c) $\frac{571}{57}$

d) $\frac{343}{13}$

a) $123=11\cdot11+2$
b) $98=7\cdot14+0$
c) $571=57\cdot10+1$
d) $343=13\cdot26+5$

Tehtävä 3. Kirjoita luvut jakoyhtälön muotoon $a = bq + r$ , kun 0 ≤ r < b

a) $\frac{38}{5}$

b) $\frac{83}{9}$

c) $\frac{141}{11}$

a) $38 = 5 \cdot 7 + 3$
b) $83 = 9 \cdot 9 + 2$
c) $141 = 11 \cdot 12 + 9$

Tehtävä 4. Luokassa on 25 opiskelijaa. Heidät jaetaan 4 hengen ryhmiin ryhmätyötä varten.

a) Kuinka monta täyttä ryhmää muodostuu?

b) Kuinka monta opiskelijaa jää yli?

c) Kirjoita jakoyhtälö tilanteesta.

$\frac{25}4 = 6$ , jakojäännös 1

a) 6 ryhmää

b) 1 opiskelija jää yli. Hänelle tosin löytyy varmaankin paikka jostakin ryhmästä.

c) $25 = 4 \cdot 6 + 1$

Tehtävä 5. Tiedetään, että luku n on jaollinen luvulla 9.

a) Onko n jaollinen luvulla 3? Perustele.

b) Voiko n olla parillinen? Perustele.

Tiedetään, että n on jaollinen luvulla 9, eli $n = 9k$

a) Koska $9 = 3 \cdot 3$ , saadaan
$n = 3 \cdot (3k)$

On siis jaollinen luvulla 3.

b) Jos k on parillinen, myös n on parillinen.
Esim. $n = 18$

Voi olla parillinen.

Tehtävä 6. Täydennä jakoyhtälö, eli ratkaise q ja r.

a) $75 = 8q + r$ , missä 0 ≤ r < 8

b) $5q + r = 143$ , missä 0 ≤ r < 5

a) $75 = 8q + r$

$\frac{75}8 = 9$ , jakojäännös 3

$q = 9$ , $r = 3$

b) $5q + r = 143$

$\frac{143}5 = 28$ , jakojäännös 3

$q = 28$ , $r = 3$

Tehtävä 7. Keksi luku, joka antaa jakojäännöksen 3, kun se jaetaan luvulla 5.

a) Anna yksi esimerkki.

b) Anna kolme erilaista esimerkkiä.

c) Selitä, millaisia nämä luvut ovat. Missä muodossa ne kaikki voidaan kirjoittaa?

Mieti yleistä muotoa: $a = bk + r$

a) Esim. 8

b) Esim. 13, 18 ja 23

c) Luvut ovat muotoa $5k + 3$ , kun $k ∈ Z$ .

Tehtävä 8. Osoita, että jos kokonaisluku a on jaollinen luvulla 5, niin a² on jaollinen luvulla 25.

Oletetaan, että a on jaollinen luvulla 5.

$a = 5k$

Tällöin $a² = (5k)² = 25k²$

a² on jaollinen luvulla 25.

Väite on tosi.

Tehtävä 9. Väite:

”Koska luku 42 on jaollinen luvuilla 6 ja 7, se on jaollinen luvulla 42.”

Onko väite oikein? Perustele.

Tarkastetaan ensin:

$\frac{42}{42} = 1$

jako menee tasan

Koska $6 \cdot 7 = 42$ , ja luvut 6 ja 7 ovat keskenään jaottomia (ei yhteisiä tekijöitä), niiden tulo jakaa luvun.