a) $\sqrt{17}\approx4,123$ , todistamiseen riittää saatua lukua pienemmät alkuluvut eli 2 ja 3.
$\frac{17}{2}=8,5$

$\frac{17}{3}\approx5,667$
vastaus: Luku 17 on alkuluku, koska kokeilluista jakolaskuista mikään ei mene tasan.

b) $\sqrt{27}\approx5,196$ , todistamiseen riittää saatua lukua pienemmät alkuluvut eli 2, 3 ja 5.
$\frac{27}{2}=13,5$

$\frac{27}{3}=9$

$\frac{27}{5}=5,4$
vastaus: Luku 27 ei ole alkuluku, koska se on jaollinen luvulla 3.

c) $\sqrt{71}\approx8,426$ , todistamiseen riittää saatua lukua pienemmät alkuluvut eli 2, 3, 5 ja 7.
$\frac{71}{2}=35{,}5$

$\frac{71}{3}\approx23,667$

$\frac{71}{5}=14,2$

$\frac{71}{7}\approx10,143$
vastaus: Luku 71 on alkuluku, koska kokeilluista jakolaskuista yksikään ei mene tasan.

d) $\sqrt{221}\approx14,866$, todistamiseen riittää lukua 14 pienemmät alkuluvut eli 2, 3, 5, 7, 11 ja 13.
$\frac{221}{2}=110,5$

$\frac{221}{3}\approx73,667$

$\frac{221}{5}=44,2$

$\frac{221}{7}\approx31,571$

$\frac{221}{11}\approx20,09$

$\frac{221}{13}=17$
vastaus: Luku 221 ei ole alkuluku, koska se on jaollinen luvulla 13.

a) $2\cdot3\cdot11$
b) $2\cdot3\cdot3\cdot5$
c) $2\cdot2\cdot2\cdot3$
d) $3\cdot5\cdot5$

a) Luvulla 6 jaollisia ovat a, b ja c.
b) Luvulla 9 jaollinen on b.
c) Luvulla 15 jaollisia ovat b ja d.

Vastaus: Alkulukuja ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ja 19.

a) vastaus: 9
$9=3\cdot3=3^2$
$36=2\cdot18=2\cdot2\cdot9=2\cdot2\cdot3\cdot3=2^2\cdot3^2$

b) vastaus: 5
$35=5\cdot6=5\cdot3\cdot2=2\cdot3\cdot5$
$55=5\cdot11$

c) vastaus: 13
$156=2\cdot78=2\cdot2\cdot39=2\cdot2\cdot3\cdot13=2^2\cdot3\cdot13$
$221=13\cdot17$
$1170=2\cdot585=2\cdot5\cdot117=2\cdot5\cdot13\cdot9=2\cdot5\cdot13\cdot3\cdot3=2\cdot3^2\cdot5\cdot13$

d) vastaus: 7
$105=5\cdot21=5\cdot7\cdot3=3\cdot5\cdot7$
$252=2\cdot126=2\cdot2\cdot63=2\cdot2\cdot7\cdot9=2\cdot2\cdot7\cdot3\cdot3=2^2\cdot3^2\cdot7$
$343=7\cdot49=7\cdot7\cdot7=7^3$

a) vastaus: 36
$9=3\cdot3=3^2$
$36=2\cdot18=2\cdot2\cdot9=2\cdot2\cdot3\cdot3=2^2\cdot3^2$
$pym(9,36)=2^2\cdot3^2=4\cdot9=36$ tai $pym(9,36)=\frac{9\cdot36}{syt(9,36)}=\frac{324}{9}=36$

b) vastaus: 196
$28=2\cdot14=2\cdot2\cdot7=2^2\cdot7$
$98=2\cdot49=2\cdot7\cdot7=2\cdot7^2$
$pym(28,98)=2^2\cdot7^2=4\cdot49=196$ tai $pym(28,98)=\frac{28\cdot98}{syt(28,98)}=\frac{2 744}{14}=196$

c) vastaus: 216
$24=2\cdot12=2\cdot2\cdot6=2\cdot2\cdot2\cdot3=2^3\cdot3$
$120=2\cdot60=2\cdot2\cdot30=2\cdot2\cdot2\cdot15=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5=2^3\cdot3\cdot5$
$189=3\cdot63=3\cdot3\cdot21=3\cdot3\cdot3\cdot7=3^3\cdot7$
$pym(24,120,189)=2^3\cdot3^3=8\cdot27=216$

d) vastaus: 108
$12=2\cdot6=2\cdot2\cdot3=2^2\cdot3$
$18=2\cdot9=2\cdot3\cdot3=2\cdot3^2$
$27=3\cdot9=3\cdot3\cdot3=3^3$
$pym(12,18,27)=2^2\cdot3^3=4\cdot27=108$

Malli ratkaisu:

vastaus: 2003, 2011 ja 2017

a)

b)
$M_2=3$ on alkuluku
$M_3=7$ on alkuluku
$M_4=15$ ei ole alkuluku, koska $\frac{15}{3}=5$
$M_5=31$ on alkuluku
$M_7=127$ on alkuluku
$M_{11}=2047$ ei ole alkuluku, koska $\frac{2047}{23}=89$

c) Jotta $M_p$ voi olla alkuluku tulee myös $p$:n olla alkuluku. (HUOM! Kaikki alkuluvut eivät kuitenkaan tuota Mersennen alkulukua.)