Lukujärjestelmät

Tehtävät on jaoteltu värin mukaan helppoihin, perus ja vaikeisiin tehtäviin.

Tehtävä 1. Vastaa kirjallisesti seuraaviin kysymyksiin.

Mitkä luvut ovat käytössä 10-järjestelmässä?
Miksi luku 102 ei ole kelvollinen luku 2-järjestelmässä?
Mikä on $1100_2$ luvun arvo 10-järjestelmässä?
Jaa 2463 luku kantalukujen potenssien summaksi 10-järjestelmässä.
Mitkä luvut ovat käytössä 16-järjestelmässä eli heksadesimaalissa?
Onko luku 2536 8-järjestelmän eli oktaalijärjestelmän mukainen?

a. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
b. Luku 102 ei ole kelvollinen 2-järjestelmässä, koska 2-järjestelmässä on käytössä vain luvut 0 ja 1.
c. Luku $1100_2$ on 10-järjestelmässä luku 12.
d. $2⋅10^3+4⋅10^2+6⋅10^1+3⋅10^0$
e. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
f. Luku 2382 on 8-järjestelmän mukainen, koska se sisältää vain lukuja, jotka kuuluvat 8-järjestelmään. Sallitut luvut 0-7.

Tehtävä 2. Valitse oikea muutos, kun muutetaan 10-järjestelmän luvut binääriin eli 2-järjestelmään ja vastaukset ovat 5-bittisiä eli 5-numeroisia.

Tehtävä 3. Kirjoita jakolaskua vastaava jakoyhtälö

a. $\frac{96}{7}$

b. $\frac {53}{6}$

c. $-\frac {23}{4}$

d. $-\frac {15}{7}$

jakoyhtälö on muotoa:

$a=b\cdot q+r$ eli $jaettava = jakaja \cdot osamäärä + jakojäännös$

a. $97=7\cdot 13+5$
b. $53=6\cdot8+5$
c. $-23=4\cdot (-6)+1$
d. $-15= 7\cdot (-3)+6$

Tehtävä 4. Muunna annetut binääriluvut 10-järjestelmään

a. $10111_2$
b. $110110_2$
c. $11001101_2$

a. $10111_2$
$=1⋅2^4+0⋅2^3+1⋅2^2+1⋅2^1+1⋅2^0$
$=1⋅16+0⋅8+1⋅4+1⋅2+1⋅1$
$=16+4+2+1$
$=23$

b. $110110_2$
$=1⋅2^6+0⋅2^5+1⋅2^4+0⋅2^3+1⋅2^2+1⋅2^1+0⋅2^0$
$=1⋅64+0⋅32+1⋅16+0⋅8+1⋅4+1⋅2+0⋅1$
$=64+16+4+2$
$=86$

c. $11001101_2$
$=1⋅2^7+1⋅2^6+0⋅2^5+0⋅2^4+1⋅2^3+1⋅2^2+0⋅2^1+1⋅2^0$
$=1⋅128+1⋅64+0⋅32+0⋅16+1⋅8+1⋅4+0⋅2+1⋅1$
$= 128+64+8+4+1$
$=205$

Tehtävä 5. Muunna annetut 10-järjestelmän luvut binääriin

a. $25$
b. $189$
c. $78$

a. $25_{10}$

$\frac{25}{2}=12{,}\ jakojäännös\ 1$

$\frac{12}{2}=6{,}\ jakojäännös\ 0$

$\frac{6}{2}=3{,}\ jakojäännös\ 0$

$\frac{3}{2}=1{,}\ jakojäännös\ 1$

$\frac{1}{2}=0{,}\ jakojäännös\ 1$

vastaus: $11001_2$

b. $189_{10}$

$\frac{189}{2}=94{,}\ jakojäännös\ 1$

$\frac{94}{2}=47{,}\ jakojäännös\ 0$

$\frac{47}{2}=23{,}\ jakojäännös\ 1$

$\frac{23}{2}=11{,}\ jakojäännös\ 1$

$\frac{11}{2}=5{,}\ \ jakojäännös\ 1$

$\frac{5}{2}=2{,}\ jakojäännös\ 1$

$\frac{2}{2}=1{,}\ jakojäännös\ 0$

$\frac{1}{2}=0{,}\ \ jakojäännös\ 1$

vastaus: $10111101_2$

c. $78_{10}$

$\frac{78}{2}=39{,}\ jakojäännös\ 0$

$\frac{39}{2}=19.\ jakojäännös\ 1$

$\frac{19}{2}=9.\ jakojäännös\ 1$

$\frac{9}{2}=4{,}\ jakojäännös\ 1$

$\frac{4}{2}=2{,}\ jakojännös\ 0$

$\frac{2}{2}=1{,}\ jakojäännös\ 0$

$\frac{1}{2}=0{,}\ jakojäännös\ 1$

vastaus: $1001110_2$

Tehtävä 6. Muuta annetut luvut heksadesimaaleista 10-järjestelmään.

a. $FF_{16}$
b. $7E9_{16}$
c. $E6F3B7_{16}$

a. $FF_{16}$
$=15\cdot16^1+15\cdot16^0$
$=15\cdot16+15\cdot1$
$=240+15$
$=255$

b. $7E9_{16}$
$=7\cdot16^2+14\cdot16^1+9\cdot16^0$
$=7\cdot256+14\cdot16+9\cdot1$
$=1792+224+9$
$=2025$

c. $E6F3B7_{16}$
$=14\cdot16^5+6\cdot16^4+15\cdot16^3+3\cdot16^2+11\cdot16^1+7\cdot16^0$
$=14\cdot1048576+6\cdot65536+15\cdot4096+3\cdot256+11\cdot16+7\cdot1$
$=14680064+393216+61440+768+176+7$
$=15 135 671$

Tehtävä 7. Muuta 10-järjestelmän luvut heksadesimaaliin.

a. $282_{10}$
b. $63_{10}$
c. $1879_{10}$

Käytä jakojäännös menetelmää. Käytä jakajana lukua 16. Heksadesimaali vastaus luetaan jakojäännöksistä alhaalta ylöspäin.

$\frac{282}{16}=17$ , jakojäännös 10

$\frac{17}{16}=1$ , jakojäännös 1

$\frac{1}{16}=0$ , jakojäännös 1

vastaus: $11A_{16}$

$\frac{63}{16}=3$ , jakojäännös 15

$\frac{3}{16}=0$ , jakojäännös 3

vastaus: $3E_{16}$

$\frac{1879}{16}=117$ , jakojäännös 7

$\frac{117}{16}=7$ , jakojäännös 5

$\frac{7}{16}=0$ , jakojäännös 7

vastaus: $757_{16}$

Tehtävä 8. Kumpi luvuista on suurempi $1101100_2$ vai $106_{10}$

$=1⋅2^6+1⋅2^5+0⋅2^4+1⋅2^3+1⋅2^2+0⋅2^1+0⋅2^0$
$=1⋅64+1⋅32+0⋅16+1⋅8+1⋅4+0⋅2+0⋅1$
$=64+32+8+4$
$=108$

vastaus: 2-järjestelmän luku on suurempi.

Tehtävä 9. Päättele x arvo, kun $110x1100_2\ =\ 2x4_{10}$

x voi olla vain 1 tai 0, koska binäärissä ei esiinny muita lukuja.

Kirjoitetaan auki molempien kantalukujen potenssien summat.

$110x1100_2\ =\ 2x4_{10}$

$1\cdot2^7+1\cdot2^6+0\cdot2^5+x\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+0\cdot2^0\ =\ 2\cdot10^2+x\cdot10^1+4\cdot10^0$

$1\cdot128+1\cdot64+x\cdot34+0\cdot16+1\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+0\cdot1\ =\ 2\cdot100+x\cdot10+4\cdot1$

$128+64+x\cdot34+8+4\ =\ 200+x\cdot10+4$

$10x-34x\ =\ 128+64+8+4-200-4$

$-24x\ =\ 0\ \parallel :\left(-24\right)$

$x=0$

vastaus on tosi, koska numero 0 löytyy molemmista järjestelmistä.

Tehtävä 10.1. Laske annetut laskut muuttamatta lukujen lukujärjestelmää.

a. $11001_2+1101_2$
b. $F6F2A_{16}-CC54_{16}$
c. $10111_2\cdot 10_2$

1+1=0 ,(muistiin jää 1)
0+0=0
0+1=1

a. $\begin{array}{r r r r} & & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ + & & &1 &1 &0 &1 \\ \hline &1 & 0 & 0 & 1 & 1 &0 \end{array}$
vastaus: $100110_2$

b. $\begin{array}{r r r r} & F & 6 & F & 2 & A \\ – & &C &C &5 &4 \\ \hline &E & A & 2 & D & 6 \end{array}$
vastaus: $EA2D6_{16}$

c. $\begin{array}{r r r r} & & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \cdot & & & & &1&0 \\ \hline & &0 &0 & 0 &0 &0 \\ + &1&0&1&1&1& \\ \hline &1 &0 &1 &1 &1 &0 \end{array}$
vastaus: $101110_2$

Tehtävä 10.2. Muunna tehtävän 10.1. vastaukset pyydettyihin järjestelmiin.

a. muunna 10.1. a-kohdan vastaus 8-järjestelmään.
b. muunna 10.1. b-kohdan vastaus 2-järjestelmään eli binääriin.
c. muunna 10.1. c-kohdan vastaus 10-järjestelmään.

Binäärin 3-bitin ryhmä vastaa yhtä 8-järjestelmän numeroa.

Binäärin 4-bitin ryhmä vastaa yhtä 16-järjestelmän numeroa.

a. $100110_2$
$100=1\cdot4+0\cdot2+0\cdot1=4$
$110=1\cdot4+1\cdot2+0\cdot1=4+2=6$
vastaus: $46_8$

b. $EA2D6_{16}$

$\frac{14}{2}=7$ , jakojäännös 0

$\frac{7}{2}=3$ , jakojäännös 1

$\frac{3}{2}=1$ , jakojäännös 1

$\frac{1}{2}=7$ , jakojäännös 1
$E_{16}=1110_2$

$\frac{10}{2}=5$ , jakojäännös 0

$\frac{5}{2}=2$ , jakojäännös 1

$\frac{2}{2}=1$ , jakojäännös 0

$\frac{1}{2}=0$ , jakojäännös 1
$A_{16}=1010_2$

$\frac{2}{2}=1$ , jakojäännös 0

$\frac{1}{2}=0$ , jakojäännös 1
$2_{16}=0010_2$

$\frac{13}{2}=6$ , jakojäännös 1

$\frac{6}{2}=3$ , jakojäännös 0

$\frac{3}{2}=1$ , jakojäännös 1

$\frac{1}{2}=0$ , jakojäännös 1
$D_{16}=1101_2$

$\frac{6}{2}=3$ , jakojäännös 0

$\frac{3}{2}=1$ , jakojäännös 1

$\frac{1}{2}=0$ , jakojäännös 1
$6_{16}=0110_2$

vastaus: $1110 1010 0010 1101 0110_2$

c. $101110_2$
$=1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+0\cdot2^0$
$=1\cdot32+0\cdot16+1\cdot8+1\cdot4+1\cdot2+0\cdot1$
$=32+8+4+2$
$=46$

vastaus: 46